Randomized Algorithm

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例：The Hiring Problem

• 我们现在打算雇佣一个人，先进行面试后进行聘用，其中Interview和Hiring都有相应的cost:\(C_i << C_h\)；假设一共雇佣了M个人，那么总的cost就是\(O(NC_i+MC_h)\)

Naive Solution

// 只雇佣更强的人
int Hiring (EventType C[], int N){
    int Best = 0;
    int BestQ = the quality of candidate 0;
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        Qi = interview(i); //Ci
        if(Qi > BestQ){
            BestQ = Qi;
            Best = i;
            hire(i)       //Ch
        }
    }
    return Best;
}
// 但是这个naive做法的worst case很坏,O(NCh)

考虑申请者以随机顺序到来的统计学视角

• 记X = 雇佣的人数

• \(X=\sum X_i\)，其中\(X_i = 0/1\)表示第\(i\)人是否被雇佣

• 然后我们雇佣的原则是雇佣最强的人，那么第\(i\)人被雇佣的概率，就是他是前i人里最强的概率，也就是\(\frac{1}{i}\)

• \(E(X)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = \text{ln}N + O(1)\)

• total cost = \(O(C_h\text{ln}N+NC_i)\)

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• 如果candidate比较聪明，他们在来之前就预先按照了从弱到强的顺序进来，那么这就worst，所以我们手动加入随机因子，来使得order确实是随机的

Randomized Algorithm

int RandomizedHiring (EventType C[], int N){
    int Best = 0;
    int BestQ = the quality of candidate 0;

    randomly permute the list of candidates;

    for(int i=1; i<=N; i++){
        Qi = interview(i);
        if(Qi > BestQ){
            BestQ = Qi;
            Best = i
            hire(i);
        }
    }
}

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随机排序的实现

• 方法一：我们可以给每个元素A[i]分配一个随机的数字random priority，然后再排序

  void PermuteBySorting (ElemType A[], int N){
      for(int i=1; i<=N; i++)
          A[i].P = 1+rand()%(N^3);
      Sort A by P
  }
  

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• Online Hiring Algorithm -- hire only once：每一个候选人马上决定雇佣与否，如果雇佣了一个人，那么在他之后的人都不再看