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lec2|Red Black Trees & B+ Trees

约 3453 个字 37 张图片 预计阅读时间 12 分钟

红黑树

2-3-4 树

  • 先来看看M-Ary多叉树

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  • 于是我们有了2-3-4树
  • 所有叶节点必须有相同的depth，即每个internal node的Children必须完备

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  • 插入操作时，我们总是优先考虑插在叶子节点（即使internal node可以插入）
  • 第一种情况：叶节点未满，直接插入
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  • 第二种情况：叶节点已满，但上方的父节点未满
  • 那么我们选取叶节点里中间值的那个key，将它作为父节点的一部分，然后由于我们选的是中间值，那么之前的左与右完美地成为两部分children
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  • 第三种情况：叶节点已满，且上方的父节点也满了
  • 那么我们照样向上'分裂'，然后父节点进行同样的'分裂'，直到有一处满足或者是根节点满了（那么整棵树层高加1）
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  • 第一种情况：最简单的情况，在叶节点且叶节点上不止一个节点
  • 直接删就好了
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  • 第二种情况：如果删的是根节点中的一个，那么我们去选左（右）子树中的最大（小）值去替代根节点
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  • 第三种情况：删除孤立的叶节点，且sibling冗余
  • 那么我们把父节点拿下来，把sibling拿上去
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  • 第四种情况：删除孤立的叶节点，且无冗余的sibling
  • 那么我们merge，减少分支
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  • 然后我们把2-3-4树，转换成二叉树，得到了红黑节点，红是黑的附属
  • 黑节点才是关键!!! alt text

概念

  • 红黑树(Red Black Tree)就是一种节点分类为红黑两色的，比较平衡的二叉搜索树。只不过不同于 AVL 树，红黑树的“平衡”性质是通过黑高(black height)来定义的。接下来依次给出红黑树的定义和黑高的定义。
    1. 每个节点要么是红要么是黑
    2. 根节点一定是黑的
    3. NIL 节点（空叶子节点）为黑；
    4. 红色节点两个孩子都一定是黑色（另一种说法，红节点不会连着）（因为有孩的红节点其实是父节点，孩即分支）
    5. 从根节点到 NIL 节点的每条路径上，包含相同数量的黑色节点（转换成2-3-4树好理解，因为叶节点同层高）

叶节点

  • 在红黑树中叶节点被定义为了NIL空节点，而不是可见的末端节点

Definition: black-height

  • 节点x的black-height 记作 bh(x)，表示从x到叶节点的简单路径上（不包括x）的黑色节点数
  • 引理：
    • 一颗\(N\)节点的红黑树的高度最多为 \(2log_2(N+1)\)
证明
  1. 首先我们显然有 \(N\geq 2^{bh}-1\)，也就是\(bh \leq log_2(N+1)\)
  2. 然后显然有 \(2bh(Tree)\geq h(Tree)\)

辨析

下面的红黑树合法吗

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  • 不合法。

  • 16 号节点的右儿子是一个黑叶子，而这个叶子到根的路径上只有 3 个黑节点，而其他叶子到根都有 4 个黑节点。

  • 所以我们需要警惕只有一个非叶儿子的红色节点

下面的红黑树合法吗

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  • 合法

  • 根据 T1 的解析，我们得到这样一个结论：

  • 合法红黑树不存在只有一个非叶子节点的红色节点！

or

  • 合法红黑树的红色节点的两个子节点一定都是叶子或都不是叶子！

操作

  • 类比2-3-4树
  • 红黑树的操作是两侧对称了，下面只讨论一侧
  • 但是实际可能更得死记硬背:-(

Insertion

  • 我们知道，对黑高有贡献的只有黑色节点，因此 NIL 节点被一个红色节点置换并不会改变一颗红黑树的黑高，因为红色节点还会有一层 NIL 子节点；然而对于红色节点，却有着红色结点互不相邻的限制。

  • 因此，“插入”操作的主要思路就是，先将整个红黑树当作一个普通的二叉搜索树，将目标数据插入到树的末端（也就是置换一个 NIL 节点），并将它染为红色，再调整使之在保证黑高不变的情况下，满足红色节点不能相邻的要求。

  • 现在，我们记这个被插入的节点为 x，任意一个节点 node 的家长节点为 node.p，则：

  1. 如果 x.p 是黑色的，那么我们不需要做任何调整；
  2. 如果 x.p 是红色的，那么我们需要进行调整；
    • 此时因为原来的树符合红黑性质，x.p.p 必定存在（红 x.p 不能是根）且必定是黑色的；
  • 根据这些讨论，我们就能列举出来一个红色的点被插入后，在 2. 的情况下所有的初始情况，即下面第一张图。
  • 由于红黑树的操作中，有一部分需要进行递归转移，而其中中间步骤出现了很多同构的结构，所以为了简化说明，我们对其进行统一，所有情况都被归纳为第二张图。
  • 而第二张图中提到的橙色结点，也就是标为“被插入的红色节点”的结点，实际过程中并不一定指的是被「插入」的那个点，也可能是在 case 1 向上递归时，简化的原来那颗子树。换句话来说，这里的“被插入的红色节点及其子树”，实际上可能是指「导致红黑性质被破坏的红根子树」。

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  • 下面从case 3->case 1由简到难进行处理

case 3

  • 对于case3，只需要一次变色和旋转即可
  • 实际就是x,p,g都是父节点，但是相对大小关系没和颜色对应上，把中间者p放在黑位即可

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case 2

  • 对于case2，只需要一次rotation就可以得到case3
  • 这里相当于插入的x是中间值，于是我们拿上去作为黑节点
  • case2，3其实都像Avl树中的Single和DoubleRotation

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case 1

  • 对于case1，其实就对应父节点中装4个爆了
  • 那么我们就采取把原中间值的父上移，然后剩余的3个节点就自然分成两部分成为其子
  • 在红黑树中就表现为原来三个父的变色
  • 然后变色（上移）后就开始分类讨论即可，最后一种情况就是遇到了根节点；这就是插入操作的递归处理 alt text
  • 最终整个插入操作就三种case，表示为一个状态机即为 
    graph LR;
A["case 1"]
B["case 2"]
C["case 3"]
D(["finish"])

A ===>|"C"| B --->|"R"| C
A ===>|"C"| A --->|"C"| D
A ===>|"C"| C --->|"C&R"| D

Delete

  • 要删除某个节点 x，我们首先要找到它，在 BST 中找到某个 x 的开销为 \(O(logN)\)。接下来我们要删除这个任意位置的节点，这势必让红黑树的结构发生变化。此外，红黑性质的维护也是一个让人头疼的问题，因此，我们对这些情况做分类讨论：
没有非NIL子节点 有一个非NIL子节点 有两个非NIL子节点
直接用NIL节点代替 直接删除，用子节点替代 将值与左子树最大值或右子树最小值交换，颜色不换，然后删除目标点

  • 其中，每一项操作都会导致一个点的消失（毕竟是删除），而如果消失的是红色节点，那么将不会影响黑高；而如果消失的是黑色节点，那么将会导致黑高减少一，此时我们需要做进一步操作。

  • 我们将情况分为四种

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case1

  • 把它按照 a 节点的红黑，分为两种情况。
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  • 当 a 为红根时，由于 x 贡献了（相对于原红黑树）-1 的黑高，为了保证整个子树贡献的黑高不变，我们考虑把 w 的黑高“上放”到 a 上，也就是从下面“吸纳”上来。
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  • 当 a 为黑根时，我们没有空余的位置来“吸纳” w 的黑高，但是左子树和右子树的不平衡是必须解决的，同时不能寄希望于“在不知道有没有红色节点的 b 和 c 的子树中去寻找红色节点”这个想法。
  • 所以我们可以仿照「Insertion / case 3」，将整个树标记为灰色——「由于删除结点，黑高 -1 的子树」，然后进一步根据其家长节点的情况递归到其他 case。其中，当我们递归到 a 是整个树的根时可以退出，因为这相当于整个树的黑高 -1，不影响红黑性质。

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case2

  1. 将 w 染为 a 的颜色，再将 a 和 c 染成黑色；
  2. 将 a 左旋，使 w 成为这个子树新的根，a 成为 w 的左儿子，b 成为 a 的右儿子；
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case3

  1. 交换 b 和 w 的颜色；
  2. 将 w 右旋，使 b 成为 a 的右儿子，w 成为 b 的右儿子，b 的右儿子成为 w 的左儿子；
  3. 此时情况转化为 case 2；
    - 其实这就是把b这个中间者上提，进行了一个DoubleRotation
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case4

  1. 交换 a 和 w 的颜色；
  2. 将 a 左旋，使 w 成为这个子树新的根，a 成为 w 的左儿子，b 成为 a 的右儿子；
  3. 此时根据子树 a 的情况，转化为 case 1.1 / case 2 / case 3；

B+树

  • B+ 树是一种用树状形式维护有序数列比较信息的数据结构，其增改操作拥相对于二叉树结构更加稳定的对数时间复杂度，通常用于数据库和操作系统的文件系统中。

  • 上面所说的2-3树和2-3-4树都是B树，但是ADS这本课只讲B+树

  • 所以作业与考试中的2-3树、2-3-4树都视作B+树！！！
B树
  • m称为B树的阶(order)
  • 树中每一个节点最多有m棵子树，也就是最多有m-1个key。
  • 如果根节点不是末端节点，那么根节点至少有两棵子树。
  • 除了根节点之外所有的非叶节点至少有\(\left \lceil \frac{m}{2}\right \rceil\)棵子树。（符号表示向上取整），也就是至少含有\(\left \lceil \frac{m}{2}\right \rceil-1\)个keys。

概念

  • 如下图就是一颗 \(M=4\) 的 B+ 树，可以对照着这个例子来理解性质。

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性质

  1. 如果根节点不是末端节点，那么根节点至少有2棵子树
  2. 除了根节点之外所有的非叶节点至少有\(\left \lceil \frac{m}{2}\right \rceil\)棵子树。（符号表示向上取整），也就是至少含有\(\left \lceil \frac{m}{2}\right \rceil-1\)个keys。
  3. 叶节点必须都在同一层
  • 所有真实的数据都被存储在叶子节点中，形成一个有序的数列。而非叶子结点中第 \(i\) 个键值等于其第 \(i+1\) 棵子树的最小值（在上图中表现为颜色相同的一对上下结点），因此非叶结点最多存 \(M-1\)个值
  • 于是我们发现这样一个性质：在存储数值不重复的情况下，非叶结点存储的键值都不相同。
  • 我们称这样的树为一个 M 阶(order) B+ 树。对于常见的 M，比如一棵 4 阶 B+ 树，我们也称之为一棵 2-3-4 树，一般 M 的选择为 3 或 4。
  • 特别说明，对于 B+ 树，将它的叶子结点拼接起来，实际上就是一个有序数列。

Abstract

  • 抽象地来说就是，我们把一个数列相对均匀的分为 \(m\) 块，然后把分界的数拿出来。当我们去查找或插入时，只需要和这些边界数进行比较，就知道它应该放在哪一块里。再不断细化粒度，用类似于“m 分”的思想来找到目标位置。
  • 这个定义非常清晰，就是将整个序列按照不同粒度划分，然后由大到小进行逼近。

操作

-   to be continued
-

查找

  • 与二叉树的查找类似，比较然后分支
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Find(43)

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插入

  • 插入的方法也相对朴素简单，就是找到该插入的地方以后插入即可。

  • 只不过需要注意一件事，当这个插入，导致了 B+ 树的性质不再成立时，即导致其家长节点的子节点数量为 \(M+1\) 时，我们需要将这个结点平均分裂成两个，此时显然有两个子树的节点数量都不大于 \(⌈M+1⌉\)。但这还不够，分裂导致家长节点的家长节点的子节点变多，所以我们还得向上递归。

Insert(44) with split

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alt text 找到位置了，发现要插入的地方是 45 的前面，插入以后发现一共 5 个数，而\(M=4\)，需要分裂！

alt text 向上递归，我们悲痛地发现，这个节点在分裂后有了 5 个子节点，不得不再次分裂。

alt text 继续向上递归，结果还要分裂，而且是根部分裂

alt text 不建议使用对应网站的 B+ 树模拟，它那里的 B+ 树的定义似乎和 ads 有所不同（采用的可能是数据库的定义）。

删除

  • 删除叶结点中相应的数据，如果需要的话：

    1. 从其他叶结点借来键值

    2. 和其他叶结点合并

Example

  • After deleting 9 from the 2-3 tree given in the figure, which one of the following statements is FALSE?

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A. the root is full

B. the second key stored in the root is 6

C. 6 and 8 are in the same node

D. 6 and 5 are in the same node

答案

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历年题

Both AVL trees and red-black trees need at most O(1) rotations per insertion.(True or False?)

答案

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