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lec4|Leftist Heaps & Skew Heaps

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复杂度

  • Leftist Heap:Insert、DeleteMin、Merge在worst case和average case下均是\(O(\text{logN})\)

  • Skew Heap:Insert、DeleteMin、Merge在worst case下为\(O(N)\)；average case下是\(O(\text{logN})\)

Leftist Heaps

  • 左斜堆，或者说左偏堆(Leftist Heap)，它相比于普通的堆，更好的一点在于它支持快速的堆合并操作。“左偏”，并不断将新的东西往右侧合并，来实现每次都是往相对小的那一侧塞进东西，进而相对保证了这个

  • 由于左偏堆不再是一个完全二叉树，所以我们不能再像维护大根堆小跟堆那样用数组来维护它了。

  • 一个左偏堆的节点维护了左右子堆的地址、自身的键值、和一个“距离(NPL)”。

struct LeftistHeapNode {
    ElementType Element;
    int Npl;
    LeftistHeapNode * Left, * Right;
};

Null Path Length

  • NPL就是到没有两个child的节点的最短距离

  • NULL节点的Npl是-1

  • 如果一个节点的左孩子或右孩子为空节点，则该节点的 Npl 为 0，这种节点被称为外节点；

  • 如果一个节点的左孩子和右孩子都不为空，则该节点的 Npl 为 \(Npl = \text{min}(Npl_{\text{left child}},Npl_{\text{right child}})+1\)

  • 左偏堆首先满足即堆的性质（最大堆或最小堆），其次满足「左偏」性质——节点的左孩子的 Npl 不小于右孩子的 Npl。

Properties

  1. 节点的 \(Npl = Npl_{\text{right child}}+1\)

  2. 如果 \(Npl_i = N\)，那么以i为根的子树至少是一个\(N+1\)的完美二叉树，至少有\(2^{N+1}-1\)个节点

  • 左偏堆通过维护整个堆“左偏”，并不断往右侧合并，来实现每次都是往 Npl 相对小的那一侧塞进东西，进而保证了这个堆的相对平衡性。

Merge

  • 作为左偏堆的核心操作，合并操作自然就是要在满足性质的条件下，合并两个左偏堆。大致思路就是先维护堆的性质，在回溯时维护左偏性质，所以实际上它是一个先自上而下再自下而上的过程。
struct LeftistHeapNode {
    ElementType val;
    int Npl;
    LeftistHeapNode * Left, * Right;
};

递归式

  • 递归式先比较当前两个待合并子树的根结点的键值，选择较小（较大）的那个作为根结点，其左子树依然为左子树，右子树更新为「右子树和另一个待合并子树的合并结果」。
LeftistHeapNode* merge(LeftistHeapNode *x, LeftistHeapNode *y){
    // merge时一方为NULL，则说明仅剩下对方，然后递归停止
    if(x == NULL) return y;
    if(y == NULL) return x;

    // 选取 较小 的作为主根
    if(x->val > y->val)
        swap(x,y);

    // 更新的右子树就是 原右子树和对方 merge后的结果
    x->Right = merge(x->Right, y);

    // 如果左子树为空 或者 Npl小于右子树 就swap
    if(x->Left = NULL || x->Left->Npl < x->Right->Npl)
        swap(x->Left, x->Right);

    // 更新 Npl
    x->Npl = x->Right->Npl + 1;

    // x是主根，所以return x
    return x;
}

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  • 1比2小，因此作为主根，然后右子树拿去merge

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  • 维护左偏的性质，交换了5的左右子树

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  • 最后往回一步步检查是否左偏：

  • 2的左右子树满足便不管；1的左右子树也满足便不管

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Skew Heaps

  • 左偏堆的一个简单版本

  • 先交换左右子树，然后在左子树上递归merge，直到最后的节点Npl为0 -> 不交换，停止

Example

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摊还分析

heavy node & light node

  • 对于一个子堆H来说，如果 size(H.right_descendant) >= \(\frac{1}{2}\)size(H), 则H是 heavy node，否则是light node

  • 即至少一半的子节点都在右支，则为重节点

  • 下面是神奇的势能函数定义
\[ \Phi(Heap)=\text{number of heavy node in} ~Heap \]

  • 然后我们就会发现一些性质

    1. 如果一个节点是 heavy node，并且在其右子树发生了合并（包括翻转），那么它一定变为一个 light node；

    2. 如果一个节点是 light node，并且在其右子树发生了合并（包括翻转），那么它可能变为一个 heavy node；

    3. 合并过程中，如果一个节点的 heavy/light属性 发生变化，那么它原先一定在堆的最右侧路径上；