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lec6|Search & Backtracing

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BFS & DFS

  • 完整性：yes

  • 最优性(optimality)：如果所有边cost相等，则能找到

  • \(T(b,d) = O(b^d)\)

  • \(S(b,d) = O(b^d)\)

  • 完整性：no；DFS 不保证找到所有解，特别是在存在环的图中可能会陷入无限循环。

  • 最优性(optimality)：no

  • \(T(b,d) = O(b^d)\)

  • \(S(b,d) = O(bd)\)

Backtracing

  • 回溯算法是一种系统地搜索问题解空间的算法设计范式。如果发现当前候选解不满足问题的约束条件，则回溯到上一步并尝试其他候选解。

  • 剪枝(pruning) 就是优化解空间，排除掉不必要的计算，减少搜索量

八皇后

  • 八皇后是一个用回溯算法来解决的经典问题

  • 我们通过约束条件剪枝，可以把复杂度从\(n^n\)降到\(n!\)

  • 下面以四皇后为例来找到可行解

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  • 在进行DFS的同时，判断是否满足四皇后的条件，就不用遍历到leaf了

收费站重建问题

  • 在\(x\)轴上给定\(N\)个点，并且它们的坐标满足\(x_1 < x_2 <...< x_N\)，假设\(x_1=0\)，那么两两点之间共有\(\frac{N(N-1)}{2}\)个距离值

  • 给定距离的集合\(D\)

  • 我们一定能确定\(x_1\)和\(x_N\)的坐标，然后下面就是通过剩余的距离值，来确定剩下的\(N-2\)个点，保证他们之间能满足\(D\)集合

  • 然后我们可以构建一个树来求解，每个节点的子节点一定是当前剩余的最近的点和最远的点

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Reconstruct
bool Reconstruct(DistType X[], DistSet D, int N, int left, int right){
// D是dist中剩余可用的距离
// 这是x[1]~x[left-1] 和x[right]~x[N]都已经解出来的情况下

    bool Found = false;
    if(Is_Empty(D))
        return true;
    D_max = Find_Max(D)
    // 选择一：X[right]=D_max
    // 检查一下这种选择下，dist是不是合理
    OK = Check(D_max, N, left, right);
    if(OK){ // 添加x[right] 并且更新 D
        X[right] = D_max;
        for (i=1;i<left;i++) Delete(X[right]-X[i],D);
        for (i=right+1;i<=N;i++) Delete(X[i]-X[right],D);
        Found = Reconstruct(X,D,N,left,right-1);
        // 看看是不是正确的路
        // 如果不是那就回溯（撤销）
        if(!Found){
        for (i=1;i<left;i++) Insert(X[right]-X[i],D);
        for (i=right+1;i<=N;i++) Insert(X[i]-X[right],D);     
        }
    }
    // 当选择1没有走成功时
    // 走选择2：x[left]=x[N]-D_max
    if(!Found){
        X[left] = X[N] - D_max;
        for (i=1;i<left;i++) Delete(X[left]-X[i],D);
        for (i=right+1;i<=N;i++) Delete(X[i]-X[left],D);
        Found = Reconstruct(X,D,N,left+1,right);
        if(!Found){
        for (i=1;i<left;i++) Insert(X[right]-X[i],D);
        for (i=right+1;i<=N;i++) Insert(X[i]-X[right],D);    
        }
    }
    return Found;
}

博弈

  • 下面以井字棋（tic-tac-toe）为例，来分析一个博弈模型

什么是博弈

  • 像下棋这种，我一步对方一步的对峙方式，就是博弈

  • 每一步博弈都必然会有很多不同的下一步分支

  • 而我们把每一步的局面评估一个分数，再结合所有的分支就可以构筑一棵博弈树

MinMax 与 MaxMin

  • MinMax和MaxMin其实就是两个非常聪明的人，在决策时总会选择对自己最有利的方式

  • 假设一方丢分一方得分

  • 那么想要得分的人一定会选择局面中分最大的选择，而丢分的人会紧接着选出在上一个选择下分最小的分支

  • 我们在搜索最终局面时，是从上往下搜索的，那么整棵博弈树其实是从下往上构筑的；因为只有知道了孩子的情况，父节点才能得出自己相应的最优解；

  • 博弈树的root，其实就是起手的这个人（在双方都最聪明的情况下）所能拿到的最优解（最高分或者最低分）

α&β剪枝

Reference

从minimax到alpha-beta剪枝算法(中)：alpha-beta剪枝原理详解

  • 于是我们会发现，一棵包含所有情况的博弈树实在是太大了

  • 但是又会发现，在构筑也就是回溯过程中，实际上对于一个MinMax(MaxMin)的两个人来说，有些路径最后是绝对不会影响root值的；

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  • 构筑过程其实就是按红线的顺序来回溯搜索

  • 我们引入一个思想，对于min的节点来说默认值是\(\infty\)，它只要搜到一个子节点比自己小就会改变自身；对于max节点来说默认值是\(-\infty\)，他只要搜到一个子节点比自己大就会改变自身

  • 那么看下面的案例，我们就会理解为什么有点节点会被“嫌弃”，即没有搜索的必要而被剪枝

A号被剪枝的原因

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  • 我们关注回溯过程，会发现这个子树先从50开搜，然后是68，因而上面的max父节点变成了68，随之上面的min父节点也变成了68

  • 继续搜右边，先搜到73，然后max父节点随之变为73；此时它的父节点也就是现在的68，它肯定不想再继续搜了，因为继续搜A只会使得73变成一个更大的数或者不变，这对68来说没有意义，它反正最终也还会是68