lec7|Divide & Conquer¶
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ADS课中的重点
- 本节的重点实际上并不是聚焦于分治本身，而是其复杂度分析
Closet Points Problem¶
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二维最近点问题(Closet Points Problem)，指的是给定平面上的 n 个点，找出其中距离最近的两个点。
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最朴素的方法肯定是枚举，也就是\(C_N^2 = \frac{N(N-1)}{2}\)的可能性，复杂度为\(O(N^2)\)
分治法¶
- 我们来类比最大子序列和问题中我们的分治做法
最大子序列和的分治做法
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将序列分为左右两部分，分别求解它们的最大子序列和
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求解跨越了中点的最大子序列和
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最后取三者的最大值
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类似的，我们将平面分为两部分，并分别求解它们的最近点距离
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以下图为例，假设我们已经求出来了两侧最近点距离，分别为12和21
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那么类似的，我们来到下一步：求解中间部分的最近距离点
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由于有上一步作铺垫，我们实际上可以省去一些功夫，只需要考虑在\(X\)方向上左右各\(\delta=\text{min}\{12,21\}\)大小的区域即可
为什么只考虑\(\delta\)区域
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因为我们想要找的有意义的点，那必定是距离小于\(\delta\)的点
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那么在中线的一侧的\(\delta\)区域内的点，距离一定>=12（毕竟单侧的点对距离最小就是12）
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那么只有可能是在灰色区域内的，一左一右的点形成的点对，才可能比\(\delta\)这个暂时的最小距离更小
- 下面对于这个灰色区域最近点对的求解很有技巧性，此处的复杂度并非\(O(n^2)\)，而是\(O(n)\)
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我们将这些点按\(Y\)方向的坐标进行排序，得到序列\(s_1...s_i...s_j...\)
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对于这个序列中的点，我们取出一个特殊的\(\delta \times 2\delta\)的矩阵
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我们将一个点的周围划分为8个格子
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如果最坏最坏的情况下，所有的点之间都维持了至少\(\delta\)距离这一“属性”，那么这八个格子中最多只能装六个点
- 那么对于每个单独的点只需要和临近的6个点比较就好了，一共是\(6n/2\)；得到\(O(N)的复杂度\)
复杂度分析¶
- 分治的时间复杂度往往满足这样的公式；我们的任务就是求解形如这样的递推公式
代换法¶
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代换法(substitution method)的思路非常直白，首先我们通过“某些手段”来得到一个预设的结果，接下来通过代入、归纳的方法来证明这个结果。
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注意假定的常数c必须是全程不变的同一个常数
递归树法¶
- 递归树法(recursion-tree method)的思路是，我们通过画出递归树来分析算法的时间复杂度，实际上和直接数学推理的区别不是很大，主要就是通过观察递归过程中数据增长的模式来进行分析。
数学上的工具
主方法¶
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公式法！
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还是用递归树来理解主方法最好；对于这个公式\(T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)\)，可以画出这样的树
master theorem
- 证明就不补了，很复杂
不能应用的情况
一道作业题
- Which one of the following is the lowest upper bound of \(T(n)\) for the following recursion \(T(n) = 2T(\sqrt{n})+\text{log}n\)
A.\(O(lognloglogn)\), B.\(O(log^2n)\), C.\(O(nlogn)\), D.\(O(n^2)\)
答案
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这个不能用主定理，就只能慢慢拆到最后的常数
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由于这里是一直对n开根，开到最后不能是1，所以我们随意选取一个大于1的整数，比如说2
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那么一项一项推就会得到：\(T(n)=2^kT(n^{\frac{1}{2^k}})+klogn\)
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\(n^{\frac{1}{2^k}}=2\)，解得\(k=O(loglogn)\)
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因此\(T(n)=O(logn+logn\cdot loglogn)=O(logn\cdot loglogn)\)