lec8|Dynamic Programming

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"Those who cannot remember the past are condemned to repeat it."

• 拆分为子问题，然后将子问题的结果存入一个table

• 前面的最优解可以作用于后面的最优解

例：斐波那契数列

递归

int Fib(int N){
    if(N<=1)
        return 1;
    else
        return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

优解

int Fib(int N){
    int i, Last, NextToLast, Answer;
    if(N<=1) return 1;
    Last = NextToLast = 1;
    for (i = 2; i <= N; i++){
        Answer = Last + NextToLast;
        NextToLast = Last; Last = Answer;
    }
    return Answer
}

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例：最优二叉搜索树

概念

• 最优二叉搜索树(Optimal Binary Search Tree)是仅用于静态搜索的最佳的二叉搜索树（它不能insert和delete）

？？？ 没听懂 搜视频看；好像是在连续的一坨点中，拿出一个作根，然后左右都是已经最优的子树，然后求出min；然后慢慢拆成了小的

也是可以调用先前的结果 P21

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例：背包问题

概念

• 背包问题，就是“抢劫问题”（

• 在有限的空间内，装下最值钱的东西

小聪明之拆分成 \(OPT(i,w)= \text{optimal value of knapsack problem with items} 1, …, i\text{subject to weight limit} w.\)

？？？为什么\(O(nW)\)是伪多项式时间

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例：矩阵连乘

概念

p40

p42，原理和optimal bst差不多

补代码p43

例：Rod-cutting Problem

• 给定一根长度为 \(N\) 的杆和一个价格表\(P_L,L=1,2,...,M\)，其中价格表 \(P_i\) 表示长度为\(i\)的杆的价格。目标是将这根杆切割成若干段，使得这些段的总价格\(R_N\)最大化。

• 例如下面这个价格表：如果我们要卖一根长为8的杆，最佳的切法是分成长为2和6的部分；如果我们要卖一根长为3的杆，最好的办法就是不切割

Length \(L\)	1	2	3	4	5	6	7	8
Price \(P_L\)	1	5	8	9	10	17	17	20

状态转移方程

当\(N\leq M\)，\(R_N=\text{max}\{P_N,\text{max}_{1\leq i \leq N}\{R_i+R_{N-i}\}\}\)

当\(N > M\)，\(R_N=\text{max}_{1\leq i \leq N}\{R_i+R_{N-i}\}\)

• 这个算法的时间复杂度为\(O(N^2)\)，因为有两个嵌套的循环，每层循环范围是\(N\)