lec9|Greedy Algorithm¶
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Activity Selection Problem¶
每一个贪心背后都有一个动态规划
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这个问题我们还是先用DP来看
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我们先把所有课程按照最早的结束时间来进行一个排序，得到序列\(a_1,a_2...a_n\)
- 第一种方法：我们定义状态为\(f(i,j)\)表示\(a_i,a_j\)之间能选到的最多的课程数；于是我们可以把这个状态转移到子结构上，于是我们就考虑选中中间的一节课\(a_k\)
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然后我们来思考这个方法的问题所在，假设有三门课我是必选中的，记作\(a_i,a_k,a_j\)，那么在计算dp的过程中，我们可能是先考虑\(i,j\)范围的时候碰见了\(a_k\)，也可能是在比\(i,k\)更大的范围中计算时碰到了\(a_j\)，那么这样的计算就是冗余的！
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之所以产生这样的冗余，是因为这个问题是找一个最优的集合，但是我们在计算dp的过程中却是按照某种顺序，找到了一个最优的序列；自然就会有冗余的产生
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处理方法就是要强行给查找安排一个从大到小（从小到大）的查找顺序，这样就能把序列扭转成集合
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但这还不是最优的方法，见DP2
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第二种方法：\(f(n)\)表示从\(a_1\)到\(a_n\)的最优选择；那么我们构造转移方程的时候，关注最后一个选出的dp
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也就是\(f(n)\)有两种情况，选择它或者不选它，\(f(n)=\text{max}\{f(k)+1,f(n-1)\}\)，\(a_k\)是在\(a_n\)前离它最近的一门课（显然是必须是相容的两者）
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这样看似很完美的dp，还是会有冗余
为什么还有冗余
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举个例子：假设只有\(a_1,a_2,a_3\)，其中\(a_1,a_2\)不相容，\(a_3\)和两者都相容，最优解一定含有\(a_3\)
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那么\(f(3)\)就来自于\(f(2)\)，而\(f(2)\)来自\(f(1)\)，也就是说\(f(1)\)->\(f(2)\)->\(f(3)\)，但是我们可以发现明明可以一步从\(f(1)\)->\(f(3)\)
贪心法的证明¶
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证明首个贪心的元素，一定包含在最优解里面（一般就去看，如果存在最优解，那么能不能用首个贪心元素替换）
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然后再递归地对于子结构进行类似的替换