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Relational Model

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什么是relation

  • relation是一个同种属性的一个集合，并非人际关系，物件关系那种relationship（这是另一个概念）

关系数据库的结构

概念

  • \(A_1, A_2, ..., A_n\) are attributes

  • \(R = (A_1,A_2, ..., A_n)\) is a relation schema

    • e.g instructor = (ID, name, dept_name, salary)

  • 满足schema的一个表就是instance \(r\)

  • 表中的column也叫attribute；row也叫tuple

Attributes

  • attribute values 应该是 atomic，即不可再分的

  • 这是设计思路上的一种要求，遵循原子性可以让我们更好地进行query

    • e.g. attribute 姓名可以拆分成姓和名，但如果不需要查询单独的姓或名，就可以只把姓名作为attribute；但是对于一本书的所有信息就必须把它们分开，不能整体作为一个attribute

  • 在任何domain中都有一个成员：特殊值 null，null意味着未知或者是不存在

    • e.g. domain of semester: Spring, Summer, Autumn, Winter, null; domain of grade: integer 0 to 100 and null

Database Schema

  • Database schema -- 数据库的一种逻辑结构

  • Database instance -- schema生成的一种实例

  • schema 是抽象的定义, instance 是具体的实例。

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Keys

  • \(K \subset R\)

  • 超键（superkey），指的是给定一个K，能够确定唯一的tuple

    • e.g {ID} or {ID, name}

  • superkey可以有冗余的部分（比如上面的{ID, name}相较{ID}有冗余）；如果superkey是minimal，没有冗余的（但不意味着只有一个attribute），就是候选键（candidate key）

  • 一个表中可以有多个candidate key，其中一个candidate key可以选作成为主键（primary key）；对于主键，我们通常选择稳定的不会变的candidate key

  • 外键（foreign key）用于维护表之间的参照完整性（Referential integrity），外键是一个表中的一个或多个列，这些列的值必须是另一个表中主键或候选键的值。通过外键，可以在两个表之间建立关联关系。

    Example--外键限制

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    • 左侧表的老师 ID 必须出现在右侧表中。

  • Referential integrity (参照完整性)，类似于外键限制，但不局限于主键。

    Example--参照完整性

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    • 这里time-slot_id并不是关系r2的主键，所以不是外键限制

Example--Schema Diagram for University Database

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  • course 指课程信息，无论是否开课，都会有其定义。

  • section 表示教学班，真正开课时就有相应的实例。（类比于高铁的列车号，和每天对应的班次）

  • teachers 具体教哪个教学班的老师

  • takes 表示学生注册课程

  • time_slot 表示一门课的具体上课时间段，如数据库在周一 3, 4, 5 节; 周一 7, 8 节。

  • 上图中红线表示引用完整性的约束；黑线表示外键约束。

Relational Algebra

  • Six basic operators：

    • select: \(\sigma\)

    • project: \(\Pi\)

    • rename: \(\rho\)

    • union: \(\cup\)

    • set difference: \(-\)

    • Cartesian product(笛卡尔积): \(\times\)

  • 前三个用于单个relation，后三个用于多个relation

Select

  • \(\sigma_p(r) = \{t|t\in r and p(t)\}\)，\(p\)叫做 selection predicate，可以用\(\land, \lor, \lnot\)还有各类不等符号

  • select的结果仍然是个表，从表\(r\)中找到满足条件\(p\)的tuple/row

Example--select

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Project

  • 把n列并起来，并且进行去重；选出来的是column
Example--project

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Union

  • 对象是两个relation \(r和s\)

  • r和s必须有相同的arity(元数)（有相同数量的属性）

  • attribute domain必须compatible，当属性有关联类型时，对于每个输入i, 两个输入关系的第i个属性的类型必须相同。

Example--Union

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  • 另一个例子：找到开设在Fall 2009 semester或者Spring 2010 semester的所有课程，\(\Pi_{\text{course_id}}(\sigma_{\text{semester="Fall"}\land \text{year=2009}})\cup\Pi_{\text{course_id}}(\sigma_{\text{semester="Spring"}\land \text{year=2010}})\)

Set Difference

  • 对象也是多个relaiton

  • r-s 就是在r里面，但是不在s里面的

Example--Set Difference

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笛卡尔积

  • 对于2个表r和s，\(r\times s\)意味着，把r里的tuple和s里的tuple两两相乘合并

  • 如果说左边有n个tuple，右边有m个tuple；最后就有\(n\times m\)个tuple

Example--笛卡尔积

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join

  • 笛卡尔积是无差别的交叉相乘后所得的结果，这会产生许多冗余，我们可以用join来添加一些过滤条件，比如：

    • \(\sigma_{\text{instructor.id = teaches.id}}(\text{instructor} \times \text{teachs})\)；这样就能得到要上课的老师信息和课程信息

  • 用\(\bowtie\)符号，\(r\bowtie_\theta s= \sigma_\theta ~r \times s\)

Rename

  • 可以重命名relation和里面的column，通常我们用于对合并后的大表进行重命名

    • \(\Pi_{\text{Instructor.ID}}(\sigma_{\text{instructor.salary > d.salary}}(\text{instructor} \times \rho_d(\sigma_{\text{department="physics"}}(\text{instructor}))))\)；这个语句可以找出比物理系老师工资高（至少比一位高）的老师id，这里就需要对物理系的老师们的大表进行一个重命名\(d\)

Additinal Operations

  • Set-Intersection（交集）:\(r\cap s = r-(r-s)\)

  • Natural join: \(r\bowtie s\)

  • Assignment: <-

  • Outer join:

Set-Intersection

  • 求交集，选的是两边都有的tuple
Example--交集

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Natural-Join

  • 和前面我们讲到的join操作类似，不过筛选条件变了，用于去掉重复列，以一个例子来看：

    • R = (A, B, C, D); S = (E, B, D)

    • \(r\bowtie s\) = (A, B, C, D, E)

    • \(r\bowtie s = \Pi_{\text{r.A,r.B,r.C,r.D,s.E}}(\sigma_{\text{r.B = s.B and r.D = s.D}}(r\times s))\)

Example--natural join

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Outer Join

  • 外连接（Outer Join）是关系数据库中的一种连接操作，用于合并两个表的数据。与Natural Join不同，外连接不仅返回两个表中满足连接条件的行，还返回不满足连接条件的行，并在这些行中填充空值（NULL）。分为三类：

    • Left Outer Join: \(r \rtimes s\)，返回左表中的所有行，右表不匹配的就留null

    • Right Outer Join: \(r\ltimes s\)，返回右表中的所有行，左表不匹配的就留null

    • Full Outer Join: \(r ⟗ s\)，返回两个表中的所有行。如果某一表中没有匹配的行，则在另一表的列中填充空值。

Example--outer join

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Assignment

  • 把中间得到的临时表，把它复制给一个临时变量名；相当于把长难的sql语句，分解成很多条

    • \(d\) <- = \(\sigma_{\text{department=physics}}(\text{instructor})\)

    • result = \(\Pi_{\text{instructor.id}}(\sigma_{\text{instructor.salary > d.salary}}(\text{instructor}\times d))\)

Division

  • 假设有两个关系 ( R(A, B) ) 和 ( S(B) )，其中 ( R ) 包含两个属性 ( A ) 和 ( B )，而 ( S ) 仅包含属性 ( B )。除法操作 ( R \(\div\) S ) 的结果是一个新的关系，它包含那些在 ( R ) 中与 ( S ) 中所有元素相关联的 ( A ) 的值。
Example--division

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Aggregate Functions and Operations

  • avg, min, max, sum, count
Example

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