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Arithmetic

约 2090 个字 8 张图片 预计阅读时间 7 分钟

Info

  • 在RISC-V中有 32bit/word 或 64bit/word
  • “传统”意义上一个word是4byte
  • 本书主要讲的是 64bit/word

加减法

  • 加减法，本质都是加法，我们采用补码的形式进行相加，就可以很好地得到结果
  • 加减处理的关键就在于overflow

overflow

  • Overflow。硬件规模是有限的，因此运算结果超过这个限制时，就会发生溢出。对于有符号加法，当正数和正数相加得到负数，或者负数和负数相加得到正数时，就可以判定溢出。对于无符号加法，如果结果小于二者中任意一个，也可以判定溢出。
    • 关于 Overflow，硬件层面需要能检测溢出，然后将这个指令的地址存储到一个特别的寄存器 EPC 里，然后跳转到 OS 中专门的程序中来处理这个溢出（异常处理）；

overflow的判别条件

  • overflow的设计，扩展到33位，然后根据 A[31],B[31],result[32:31]的结果来判断
操作 A B 结果以及最高位和overflow位情况
A+B >=0 >=0 <=0 (01)
A+B <=0 <=0 >=0 (10)
A-B >=0 <0 <=0 (01)
A-B <0 >=0 >=0 (10)

移位

算术右移

  • 算术右移（Arithmetic Right Shift）操作会将一个数的所有位向右移动指定的位数，同时保留该数的符号位（通常是最左边的位）。在移动过程中，空出的位将根据原始数的符号位填充：如果原始数是正数（符号位为0），则空出的位填充0；如果原始数是负数（符号位为1），则空出的位填充1。这种移位方式保证了负数在算术右移后仍然保持为负数，且其绝对值按二进制递减。

逻辑右移

  • 逻辑右移（Logical Right Shift）操作也会将一个数的所有位向右移动指定的位数，但与算术右移不同的是，逻辑右移不考虑数的符号位，移动过程中空出的位统一填充0。这意味着无论原始数是正是负，空出的位都将填充0。逻辑右移主要用于无符号数的操作。

ALU

1-bit ALU

  • 在这一节中，我们希望 ALU 具有加法、减法、与运算、或运算和比较的能力。
  • 我们先考虑 1 bit ALU 的构造。我们学习过 1 bit Full Adder 的构造：
\[ \begin{align} Sum &= A \oplus B \oplus Carry_{in} \\ Carry_{out} &= Carry_{in}A + Carry_{in}B + AB \end{align} \]

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  • 把4个小CLA送入unit得到c4,c8,c12,c16，再送回小CLA去算

乘法

  • Multiplicand：被乘数，Multiplier：乘数
  • 关键在V3

V3

  • 根据乘法的原理，我们知道被乘数永远不变，然后乘数一位一位地与被乘数相乘，然后把所有结果相加
  • 然后对于64bit \(\times\) 64bit的运算，结果肯定需要拓展到128bit
  • 但是乘算过程中产生的始终是64bit的量，只不过移位再相加罢了
  • 所以天才的想法就是把Product里的前64bit用来存储计算中间量，后64bit用来存乘数
  • 那么每计算一次，就是取乘数中的最右位，结果存到前64位；
  • 然后我们把Product整体右移，舍弃掉刚刚乘数的最右位的同时，下一个中间量也间接地扩大了2倍（左移了一位），然后我们重复上述过程就得到最终结果
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除法

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  • 被除数放在remainder的右半部分，然后每次左移，在高64位与除数相减，共移动65次

  • 如果相减不是负数，那么就在remainder最右边置1；

  • 最后移动完65次后，再把高64位右移1位；高64位就是余数，低64位是商

IEEE 浮点数

IEEE 754 浮点表示

  • IEEE 754 规定了一种浮点数标准：我们将浮点数表示为 $$ (-1)^S \times F \times 2^E $$

  • 这是一种类似于科学计数法的表示

    • \((-1)^S\)表示了符号位
    • \(F\)和\(E\)用若干bits表示，分别表示尾数和指数
    • 将其表示为\(1.xxxxx_2 \times 2^{yyyy}\)的形式

  • IEEE 754 规定了两种精度的浮点数格式，分别是 single precision 和 double precision（分别对应 C 语言中的 float 和 double ），RISC-V 这两种都支持： alt text alt text

  • 可以看到，fraction 的位数越多，浮点数的精度就越高；而 exponent 的位数越多，浮点数能保存的范围就越大。

  • 注意到这个指数在实际使用中可能是正整数、负整数或 0，因此我们使用一个偏移，对单精度浮点数偏移 127，双精度浮点数偏移 1023（刚好是表示范围的一半！），也就是说我们保存的 exponent 其实是 \(E+bias\) 的二进制。也就是说，对于这样的一个表示，其值是：

\[ (-1)^S·(1+\text{fraction})·2^{\text{exponent-bias}} \]
  • 当指数为0或全1时是特殊值，用来表示非规格化数、零和无穷大等，实际可用范围是 1 ~ 254 / 1 ~ 2046
  • 对于单精度浮点数：
\[ \pm 1.0 \times 2^{-126} \sim \pm (2-2^{-23}) \times 2^{127} \]
  • 对于双精度浮点数：
\[ \pm 1.0 \times 2^{-1022} \sim \pm (2-2^{-52}) \times 2^{1023} \]

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Denormal Numbers

  • Exponent = 000...0

    • 远比正常数要小
    • When Fraction = 0.000...0 -> Zero

  • Exponent = 111...1

    • Fraction = 0.000...0 -> \(\pm \text{Infinity}\)
    • Fraction ≠ 0 -> NaN

18-19 final

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答案

(1) +inf (2) 0xBF800000

浮点加法

以 \(1.000_2 \times 2^{-1} - 1.110_2 \times 2^{-2}\) 为例

  1. 对齐、规格化:

    • 将小指数对齐到大指数，小对大可以防止精度丢失

    • \(-1.110_2 \times 2^{-2} = -0.111_2 \times 2^{-1}\)

  2. 尾数fraction相加减:

    • \(1.000-0.111=0.001\)

  3. 结果规格化:

    • \(0.001_2 \times 2^{-1}= 1.000_2 \times 2^{-4}\)

  4. 舍入:

    • 将fraction部分舍入到正确位数

浮点乘法

分别处理符号位、exponent 和 fraction：

  • 符号位：根据两个操作数的符号决定结果的符号
  • exponent：将两个 Exponent 相加并 减去一个 bias，因为 bias 加了 2 次
  • fraction：将两个 (1 + Fraction) 相乘，并将其规格化；此时同样要考虑 overflow 和 underflow；然后舍入，如果还需要规格化则重复执行

精确算术

  • 保护位（guard）、舍入位（round）

以十进制数为例

  • 进行加法\(2.56_{10}\times 10^0 + 2.34_{10}\times 10^2\)

  • 我们肯定需要进行对齐得到\(0.0256\times 10^2+2.34\times 10^2\)

  • 本来我们是只有两位的小数，那么现在其实多扩充了两位，这两位就是保护位和舍入位，分别是5和6

  • 进行加法后得到结果\(2.3656_{10}\)

  • 然后我们以50为界，0-49之间的部分舍去，51-99则进1；最终结果为\(2.37_{10}\times 10^2\)

  • 粘滞位（sticky）

例子

  • 如果我们计算\(5.01_{10}\times 10^{-1} + 2.34_{10}\times 10^2\)

  • 即使有保护位和舍入位，我们有\(0.0050 + 2.34 = 2.3450\)，而这时我们就需要有粘滞位，来辨别出\(0.50...00\)和\(0.50...01\)的区别

  • 而只要舍入位的右边非零，我们就把粘滞位 置1 就好了

作业题

  • 假设带符号的8位十进制整数185和122以符号一数值(sign-magnitude)形式存储。计算185+ 122 是 否上溢或下溢，或都没有?
答案
\[ 181_{10} = 10111001_2 \\ 122_{10} = 01111010_2 \\ \]

Because it is a 8-bit sign-magnitude number, \(10111001_2\) actually presents \(-57_{10}\)

\[ 10111001_2 + 01111010_2 = (1)00110011_2 = 65_{10} \]

a negative number adds a positive number -> this is no overflow or underflow

作业题

  • EEE754-2008包含一种只有16位宽的“半精度” 格式。最左边仍是符号位，指数 5 位宽且以余-16(excess-16)的形式存储，偏移量是15，尾数是10位宽。假设隐含1。

  • 手动计算 \(( 3 . 9 8 4 3 7 5 \times 1 0 ^{- 1} + 3 . 4 3 7 5 \times 1 0^{ - 1} ) + 1 . 7 7 1 \times 1 0^{10}\) ， \(假 设 每 个 值 都 以 练 习 3. 27 中描述的16位半精度格式存储(在文中也有描述)。\) \(假设有1个保护位、1个舍入位和1 个 粘滞 位 ， 并 舍 入 到 最 近 的 得 数 。\) \(给 出 所 有 步 骤 ， 并 用 1 6 位 浮 点 格 式 和 十 进 制写 出 答 案\)

答案

\(3.984375_{10}\times 10^{-1} = 1.1001100000_2\times 2^{-2}\)

\(3.4375_{10}\times 10^{-1} = 1.0110000000_2 \times 2^{-2}\)

\(1.771_{10} \times 10^{3} = 1.1011101011_2 \times 2^{10}\)

Mark this three numbers as \(X,Y,Z\)

\(X+Y = 10.1111100000_2 \times 2^{-2} = 1.01111100000 \times 2^{-1}\)

\((X+Y)+Z = 1.01111100000 \times 2^{-1} + 1.1011101011 \times 2^{10}\)

\(= (0.0000000000~ 10~1111100000+1.1011101011)\times 2^{10}\)

guard = 1,safe = 0, sticky = 1; result: \(1.1011101011~101 \times 2^{10}\) -> round up = \(1.1011101100 \times 2^{10} = 1772\)